آناليز شاخه ای از رياضيات است که با اعداد حقيقی و اعداد مختلط و نيز توابع حقيقی و مختلط سر و کار دارد و به بررسی مفاهيمی از قبيل پيوستگی ،انتگرال گيری و مشق پذيری می پردازد. از نظر تاريخی آناليز در قرن هفدهم با ابداع حساب ديفرانسيل و انتگرال توسط نيوتن و لايپ نيتس پايه ريزی شد. در قرن هفدهم و هجدهم سر فصل های آناليزی از قبيل حساب تغييرات،معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئی، آناليز فوريه در زمينه های کاربردی توسعه فراوانی يافتند و از آنها به طور موفقيت آميز در زمينه های صنعتی استفاده شد. در قرن هجدهم تعريف مفهوم تابع به يک موضوع بحث بر انگيز در رياضيات تبديل شد. در قرن نوزدهم کوشی با معرفی مفهوم سری های کوشی اولين کسی بود که حساب ديفرانسيل و انتگرال را بر يک پايه منطقی استوار کرد.. در اواسط قرن نوزدهم ريمان تئوری انتگرال گيری خود را که به انتگرال ريمان معروف است ارائه داد، در اواخر قرن نوزدهم وايراشتراس مفهوم حد را معرفی کرد و نتايج کار خود بر روی سريها را نيز ارائه داد در همين دوران رياضيدانان با تلاش های زياد توانستند انتگرال ريمان را اصلاح نمايند . در اوايل قرن بيستم هيلبرت برای حل معادلات انتگرال فضای هيلبرتی را تعريف و معرفی نمود.از آخرين تحولات در زمينه آناليز می توان به پايه گذاری آناليز تابعی توسط يک دانشمند لهستانی به نام باناچ نام برد

آناليز به دسته هاي زير تقسيم بندي مي شود
آناليز حقيقی: به مطالعه بر روی حد ها ،مشتقات،انتگرال ها سريهای توانی می پردازد
آناليز تابعی: به معرفی نظريه هايی از قبيل فضاهای باناچ و نيز فضای هيلبرت می پردازد
آناليز هارمونيک: در اين شاخه از آناليز سری های فوريه مورد مطالعه قرار می گيرد
آناليز مختلط: به بررسی توابع مختلط و خواص اين توابع از قبيل مشتق پذيری و انتگرال گيری می پردازد

آناليز عددي

آناليز عددی الگوريتم حل مسئله در رياضيات پيوسته(رياضياتی که جدا از رياضيات گسسته است)را مورد مطالعه قرار ميدهد. آناليز عددی اساسا به مسائل مربوط به متغيرهای حقيقی و متغيرهای مختلط و نيز جبر خطی عددی به علاوه حل معادلات ديفرانسيل و ديگر مسائلی که از فيزيک و مهندسی مشتق ميشود. تعدادی از مسائل در رياضيات پيوسته دقيقا با يک الگوريتم حل ميشوند.که به روش های مستقيم حل مسئله معروف اند.برای مثال روش حذف گائوسی برای حل دستگاه معادلات خطی است و نيز روش سيمپلکس در برنامه ريزی خطی مورد استفاده قرار ميگيرد. ولی روش مستقيم برای حل خيلی از مسائل وجود ندارد.و ممکن است از روشهای ديگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود،چون اين روش ميتواند در يافتن جواب مسئله موثرتر باشد. تخمين خطاهای موجود در حل مسائل از مهمترين قسمت های آناليز عددی است اين خطاها در روش های تکرار شونده وجود دارد چون به هرحال جوابهای تقريبی بدست آمده با جواب دقيق مسئله، اختلاف دارد و يا وقتی که از روش های مستقيم برای حل مسئله استفاده می شود خطاهايی ناشی از گرد کردن اعداد بوجود می آيد. در آناليز عددی می توان مقدار خطا را در خور روش که برای حل مسئله به کار می رود، تخمين زد
الگوريتم های موجود در آناليز عددی برای حل بسياری از مسائل موجود در علوم پايه و رشته های مهندسی مورد استفاده قرار می گيرند. برای مثال از اين الگوريتم ها در طراحی بناهايی مانند پل ها، در طراحی هواپيما ، در پيش بينی آب و هوا، تهيه نقشه های جوی از زمين، تجزيه و تحليل ساختار مولکول ها، پيدا کردن مخازن نفت، استفاده می شود، همچنين اکثر ابر رايانه ها به طور مداوم بر اساس الگوريتم های آناليز عددی برنامه ريزی می شوند. به طور کلی آناليز عددی از نتايج عملی حاصل از اجرای محاسبات برای پيدا کردن روش های جديد برای تجزيه و تحليل مسائل، استفاده می کند.

منبع:   www.mathematicalrasht-un.blogfa.com